典型习题：(100409)多元函数的方向导数

点“考研竞赛数学”↑可每天“涨姿势”哦！

解析视频

https://v.qq.com/txp/iframe/player.html?vid=l03902qj72a&width=500&height=375&auto=0

习题解答

相关小结

“多元函数的方向导数”题型的求解思路以及相关的知识点：

1．方向导数的定义

设二元函数z=f(x,y)在点(x₀,y₀)的某邻域内有定义，其中向量u对应的单位向量为u^o=(cosα,cosβ)，其中α,β为向量u的方向角，则当极限

存在时，则称该极限为函数z=f(x,y)在点(x₀,y₀)处沿方向u的方向导数，记作

方向导数也记作∂f/∂u|_(x0,y0).

【注】从实际应用与通用性角度，我们定义方向导数ρ→0⁺。有些教材对方向导数的定义ρ的取值可正可负，虽然可以视偏导数为其特殊情况，但是其条件对于实际应用来说太强！当然如果一个函数沿着指定方向及其反方向方向导数存在且互为相反数，则定义与ρ→0⁺一样可得得到有效结论。

2．方向导数的几何意义

设z=f(x,y)表示空间曲面S，则方向导数D_uf(x₀,y₀)表示过点P(x₀,y₀,0), M(x₀,y₀,f(x₀,y₀))，且平行于xOy面上的向量u和垂直于xOy的平面π与曲面S的交线在点M(x₀,y₀,f(x₀,y₀))处的切线的斜率．

特别地，f’_x(x₀,y₀)与f’_y(x₀,y₀)分别为函数f(x,y)在点P(x₀,y₀)处沿两坐标轴方向i=(1,0)及j=(0,1)的方向导数．

3．方向导数的计算

定理设函数f(x,y)在点P(x₀,y₀)可微，那么函数在该点沿任意方向向量u的方向导数都存在，且有

其中cosα,cosβ为向量u的方向余弦．

4．多元函数的方向导数

方向导数的概念及计算公式可推广到三元及三元以上的函数．例如，三元函数f(x,y,z)在点P(x₀,y₀,z₀)沿方向u（对应的单位向量为u^o=(cosα,cosβ,cosγ)）的方向导数定义为

同样，当函数f(x,y,z)在点P(x₀,y₀,z₀)可微时，函数在该点沿方向u的方向导数

一般地，当函数f(x,y,z)可微时，有

微信公众号：考研竞赛数学(ID: xwmath) 大学数学公共基础课程分享交流平台！

↓↓↓点阅读原文查看更多相关内容